Question

（Ⅰ）設函數f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(

9

10

)19＜

1

e2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用導數證明函數f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

在定義域上為增函數，即證明f′（x）≥0在（-1，+∞）恒成立，再考慮當x=0時，f（x）=0，故當x＞0時，f（x）＞0
（Ⅱ）先計算概率P=

A 100 20

10020

，再證明

A 100 20

10020

=

100×99×…×81

10020

＜(

9

10

)19=

100

90

(

90

100

)20，即證明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后證明(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

＞

2

19

，而這個結論由（1）所得結論可得

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

1+x

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(1+x)(x+2)

≥0，（x＞-1），（僅當x=0時f′（x）=0）
故函數f（x）在（-1，+∞）單調遞增．當x=0時，f（x）=0，故當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，連續抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為P=

A 20 100

10020

，要證P＜（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

．
先證：P=

A 20 100

10020

＜(

9

10

)19 即證

100×99×…×81

10020

＜

100

90

(

90

100

)20
即證99×98×…×81＜（90）¹⁹而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜(

9

10

)19
再證：(

9

10

)19＜e^-2，即證(

10

9

)19＞e²，即證19ln

10

9

＞2，即證ln

10

9

＞

2

19

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，當x＞0時，f（x）＞0．
令x=

1

9

，則ln（1+

1

9

）-

2- 1 9

1 9 +2

=ln（1+

1

9

）-

2

19

＞0，即ln

10

9

＞

2

19

綜上有：P＜(

9

10

)19＜e^-2

點評：本小題主要考查函數、導數、不等式證明及等可能事件的概率等知識．通過運用導數知識解決函數、不等式問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力．