Question

【題目】已知函數.

（1）若在定義域內單調遞增，求的值；

（2）討論的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）若，無零點；若，有兩個零點；若或，有一個零點.

【解析】

（1）求導得，設，則在上單調遞增，根據、、與分類討論，找到令恒成立的的取值范圍即可得解；

（2）分為、、、、和分類討論，根據（1）求得的單調性結合零點存在性定理，即可得解.

（1）由題意得的定義域為，

，

設，則，在上單調遞增.

若，則，所以當，，當，；

若，，，

所以在上有唯一零點，設為，

所以當，，當，，當，；

若，，所以當，，當，；

若，則，，，

所以在上有唯一零點，設為，

所以當，，當，，當，；

綜上所述，若在其定義域內單調遞增，則.

（2）若，在上有唯一零點；

由（1）知，時，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以最小值為，

若，則，即，無零點；

若，則，有唯一零點；

若，則，，在上有唯一零點，

又 ，，

所以，

所以在上有唯一零點，所以在上有兩個零點；

設，，在上單調遞增，

所以，即，所以，所以；

若，當時，，

，

由（1）知在上單調遞增，所以在上有唯一零點；

若，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，，

因為，所以，，

所以在上有唯一零點；

綜上，若，無零點；若，有兩個零點；若或，有一個零點.