Question

【題目】設a，b均大于0，且 + =1．求證：對于每個n∈N* ， 都有（a+b）n﹣（an+bn）≥22n﹣2n+1 ．

Answer 1

【答案】證明：由a，b均大于0，且 + =1，
可得 知 ，
由二項式定理，得
= ．
則原不等式成立．
【解析】運用二元均值不等式可得 ≥2，再由二項式定理，化簡整理可得（a+b）n﹣（an+bn）
= ，再由均值不等式即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等，以及對平均值不等式的理解，了解平均不等式：,（當且僅當時取號即調和平均幾何平均算術平均平方平均）
．