Question

【題目】如圖，已知二面角α﹣MN﹣β的大小為60°，菱形ABCD在面β內，A、B兩點在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點，DO⊥面α，垂足為O．

（1）證明：AB⊥平面ODE；
（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖

∵DO⊥面α，ABα，∴DO⊥AB，

連接BD，由題設知，△ABD是正三角形，

又E是AB的中點，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，

∴AB⊥平面ODE；

（2）解：∵BC∥AD，

∴BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角，

由（1）知，AB⊥平面ODE，

∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，

從而∠DEO=60°，不妨設AB=2，則AD=2，易知DE= ，

在Rt△DOE中，DO=DEsin60°= ，連AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO= = ，

故異面直線BC與OD所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）運用直線與平面垂直的判定定理，即可證得，注意平面內的相交二直線；（2）根據異面直線的定義，找出所成的角為∠ADO，說明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨設AB=2，從而求出OD的長，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．