Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求函數的單調遞減區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；

（3）若，正實數，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）2； （3）證明見解析.

【解析】

（1）利用，確定的值，求出到函數，從而確定函數的單調性；

（2）構造函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解；

（3）由，整理得，令，由，利用導數求得函數的單調性和最值，即可求解.

（1）由，可得，所以，，

，

由，得，解得或，

又因為，所以，所以的單調遞減區間為.

（2）令，

所以.

當時，因為，所以，所以在上是遞增函數.

又因為，

所以關于的不等式不能恒成立.

當時，，

令，得.所以當時，；

當時，，

因此函數在上是增函數，在上是減函數，

故函數的最大值為，

令，因為，，

又因為在上是減函數，

所以當時，.所以整數的最小值為2.

（3）當時，，，

由，得，

從而，

令，則由，得，

可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，所以，

因此成立，

又因為，所以.