Question

【題目】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若經過定點的直線與曲線交于兩點， 是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 存在直線或，使得.

【解析】試題分析：

（1）本題用直接法求動點軌跡方程，設支點坐標為，當然由已知分析，動點不能在軸左側，然后利用直線與圓相切和兩圓外切的條件列出方程，化簡即可；

（2）假設存在滿足題意的直線，設出直線方程，分析發現直線的斜率為0時不合題意，從而設直線方程為，設，直線方程與曲線方程聯立方程組，消去變量后得的一元二次方程，由韋達定理得，設，得， ，由求出值，得直線方程，若不能求出實數，則說明假設錯誤，不存在相應的直線.

試題解析：

（1）設，分析可知：動圓的圓心不能在軸的左側，故，

∵動圓與直線相切，且與圓外切，

∴，

∴，

∴，

化簡可得；

（2）設，

由題意可知，當直線與軸垂直時，顯然不符合題意，

故可設直線的方程為，

聯立和并消去，可得，

顯然，由韋達定理可知，①

又∵，

∴，②

∵，∴，③

假設存在，使得，

由題意可知，∴，④

由點在拋物線上可知，即，⑤

又，

若，則，

由①②③④⑤代入上式化簡可得，

即，

∴，故，

∴存在直線或，使得．