Question

已知函數a＞1，y=

a

a2-1

(ax-a-x)．
（1）判斷函數的奇偶性和單調性；
（2）當x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為R，關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），故函數為奇函數．再由題意可得

a

a2-1

＞0，函數t=a^x在R上是增函數，函數t=-

1

ax

 在R上也是增函數，可得所給的函數在R上是增函數．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），故有 1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，
-1＜m²-1＜1，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）函數的定義域為R，關于原點對稱．令y=f(x)= 

a

a2-1

(ax-a-x)，
f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故函數為奇函數．
由于a＞1，∴

a

a2-1

＞0，函數t=a^x在R上是增函數，函數t=-

1

ax

 在R上也是增函數，
故y= 

a

a2-1

(ax-a-x)在R上是增函數．
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得，f（1-m）＜-f（1-m²）=f（ m²-1），
∴1-m＜m²-1，-1＜1-m＜1，-1＜m²-1＜1，解得1＜m＜

2

，
故m的取值范圍是（1，

2

）．

點評：本題主要考查指數型函數的性質以及應用，函數的奇偶性和單調性的應用，屬于中檔題．