Question

設函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：對于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1時f（x）取極小值-

2

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．
（1）f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直：

Answer 1

分析：（1）利用奇函數中不含偶次項，得到b=d=0；求出導函數，令導函數在x=1的值為0，令函數在x=1的值為-

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3

，列出方程組，求出a，c求出解析式．
（2）設出任意兩個點，求出該兩個點處的導數值，即兩條切線的斜率，求出它們的積的范圍，得到不可能為-1．

解答：解：解：（1）因為，?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：f(1)=-

2

3

，得 a+c=-

2

3

，解之得：a=

1

3

，c=-1從而，
函數解析式為：f(x)=

1

3

x3-x
（2）由于，f'（x）=x²-1，
設任意兩數x₁，x₂∈[-1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，
則這兩點的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因為：-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故當x∈[-1，1]是函數f（x）圖象上任意兩點的切線不可能垂直

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值，考查導數的幾何意義，屬于中檔題．