Question

已知函數.
(1)若的定義域和值域均是，求實數的值；
(2)若在區間上是減函數，且對任意的，，總有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是.

試題分析：（1）根據條件，可知為二次函數，其對稱軸為，因此在上是減函數，故根據條件的定義域和值域均是，可列出關于的方程組，將具體的表達式代入，即可求得；（2）首先根據條件可知，再由問題的描述，可將問題等價轉化為求使對任意的，，總有成立的的取值范圍，又由條件，二次函數的對稱軸，且左右端點對于對稱軸的偏離距離，故有，，因此可以建立關于的不等式，從而求得的取值范圍是.
試題解析：（1）∵,∴在上是減函數    2分，
又定義域和值域均為，∴，     4分
即，解得.      5分；
（2）∵在區間上是減函數，∴，     7分
又，且，
∴，.     10分
∵對任意的，，總有，
∴,     12分
即 ,解得 ，
又∵，∴，的取值范圍是.