Question

【題目】已知集合M={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）f（x﹣y），x，y∈R}，有下列命題
①若f（x）= ，則f（x）∈M；
②若f（x）=2x，則f（x）∈M；
③f（x）∈M，則y=f（x）的圖象關于原點對稱；
④f（x）∈M，則對于任意實數x1 ， x2（x1≠x2），總有 ＜0成立；
其中所有正確命題的序號是 ． （寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①若x=3，y=1，則f2（x）﹣f2（y）=1﹣1=0，f（x+y）f（x﹣y）=f（4）f（2）=1，不滿足集合條件，故f（x）M，故①錯誤；
②由f（x）=2x得：f2（x）﹣f2（y）=4x2﹣4y2 ， f（x+y）f（x﹣y）=2（x+y）2（x﹣y）=4x2﹣4y2 ， 滿足等式，故f（x）∈M，故②正確；
③由題意知，函數f（x）滿足f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）f（x﹣y），令x=y=0得：f（0）=0；再令x=0得：﹣f2（y）=f（y）f（﹣y），即有f（y）[f（y）+f（﹣y）]=0，所以f（y）=0或f（﹣y）=﹣f（y），當f（y）=0時，函數圖象關于原點對稱，當f（﹣y）=﹣f（y）時，函數為奇函數，圖象也關于原點對稱，故③正確；④取f（x）=﹣x，因為f2（x）﹣f2（y）=x2﹣y2 ， f（x+y）f（x﹣y）=﹣（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2 ， 所以f（x）∈M，而f（x）=﹣x為減函數，故④錯誤．
綜上可得：②③正確．
所以答案是：②③．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．