Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.

(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；

(2)若函數f(x)在R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(3)是否存在實數a，使不等式f(x)≥2x－3對任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）把代入函數解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段寫出函數的解析式，由在上單調遞增，則需第一段二次函數的對稱軸小于等于，第二段一次函數的一次項系數大于0，且第二段函數的最大值小于等于第一段函數的最小值，聯立不等式組后求解的取值范圍；（3）把不等式對一切實數恒成立轉化為函數對一切實數恒成立，然后對進行分類討論，利用函數單調性求得的范圍，取并集后得答案.

試題解析：(1)當時， ，則；當時，由，得，解得或；當時， 恒成立，∴方程的解集為或．

(2)由題意知，若在R上單調遞增，則解得，∴實數的取值范圍為.

(3)設，則，不等式對任意恒成立，等價于不等式對任意恒成立．

①若，則，即，取，此時，∴，即對任意的，總能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．

②若，則，∴的值域為，∴恒成立③若，當時， 單調遞減，其值域為，由于，所以恒成立，當時，由，知， 在處取得最小值，令，得，又，∴，綜上， ．