Question

(本小題滿分13分)
如圖，已知、為平面上的兩個定點，，且，（為動點，是和的交點）.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；
（Ⅱ）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與直線相交于一點，證明＜（為的中點）．

Answer 1

解：（Ⅰ）以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系.
由題設，，
∴，而.
∴點是以、為焦點、長軸長為10的橢圓.
故點的軌跡方程是.…………………………………（4分）
（Ⅱ）設，，.
∴，且，即.
又、在軌跡上，∴，.
即，.
代入整理，得
.
∵，∴．
∵，，∴．
∵，∴.
∴，即＜．……………………………………………（13分）

解析