Question

（本小題滿分13分）如圖所示，在四棱臺(tái)中， 底面ABCD是正方形，且底面 , .
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）試在平面中確定一個(gè)點(diǎn)，使得平面；
（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）直線AB₁與DD₁所成角的余弦值為.
（2）略
（3）二面角的余弦值為.

解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（）,,
,,.
（1）
,
即直線AB₁與DD₁所成角的余弦值為.   …………………（4分）
（2）設(shè)
由平面得即得
的中點(diǎn).   ………………………………………………（9分）
（3）由（2）知為平面的法向量.
設(shè)為平面的法向量，
.
由即
令
,
即二面角的余弦值為.   …………………………………（13分）