Question

【題目】已知函數f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）．
（1）若f（x）為奇函數，求λ的值和此時不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）≤6對x∈[0，2]恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3x+λ3﹣x為奇函數，

∴f（﹣x）+f（x）=3﹣x+λ3x+3x+λ3﹣x=（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）=（λ+1）（3x+3﹣x）=0，

∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1=0，即λ=﹣1．

此時f（x）=3x﹣3﹣x，

由f（x）＞1，得3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0，

解得： （舍），或3x＞ ，即x＞ ．

∴不等式f（x）＞1的解集為（ ）

（2）解：由f（x）≤6得3x+λ3﹣x≤6，即3x+ ≤6，

令t=3x∈[1，9]，

原不等式等價于t+ ≤6在t∈[1，9]上恒成立，

亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，

令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]，

當t=9時，g（t）有最小值g（9）=﹣27，

∴λ≤﹣27

【解析】（1）直接由f（﹣x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3x的范圍，進一步求解指數不等式得答案；（2）由題意可得3x+ ≤6，令t=3x∈[1，9]，原不等式等價于λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t﹣t2 ， t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．