Question

已知點(diǎn)D在定線段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一個(gè)動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)D且與MN相切，分別過(guò)M、N作圓C的另兩條切線交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作直線l與所求軌跡交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，若（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系xOy．由題意知點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線（不包含頂點(diǎn)），其軌跡方程為（y≠0）．
（Ⅱ）由題設(shè)條件知=±λ，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）設(shè)AB：my=x+2，代入得，（3m²-1）y²-12my+9=0．所以．由此入手能夠求出直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
建立直角坐標(biāo)系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線（不包含頂點(diǎn)），
其軌跡方程為（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，
∴=±λ，（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）
設(shè)AB：my=x+2，代入得，3（my-2）²-y²-3=0，
即（3m²-1）y²-12my+9=0．
∴（7分）
①當(dāng)=λ時(shí)，y₁=λy₂，∴（8分）得，，（9分）
∴∈[4，6]，即4≤≤6．
∴解得，m²≥3，故tan²θ≤（10分）
②當(dāng)=-λ時(shí)y₁=-λy₂，∴（11分）得，，即．
∵λ∈[2-，2+]，∈[2，4]
∴∈[-2，0]，即-2≤≤0．
∴即，故tan²θ≥11． （13分）
由①、②得tan²θ≤或tan²θ≥11．
則夾角θ∈（0，]∪arctan，），（14分）
∵tanθ不存在時(shí)，直線l符合條件，故θ=時(shí)，符合題意．
∴θ∈（0，]∪[arctan，）． （15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．