Question

已知點D在定線段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，若（

MA

+λ

MB

）•（

MA

-λ

MB

）=0，且λ∈[2-

3

，2+

3

]，求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系xOy．由題意知點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線（不包含頂點），其軌跡方程為x2-

y2

3

=1（y≠0）．
（Ⅱ）由題設條件知

MA

=±λ

MB

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

MA

=（x₁+2，y₁），

MB

=（x₂+2，y₂）設AB：my=x+2，代入x2-

y2

3

=1得，（3m²-1）y²-12my+9=0．所以

y1+y2= 12m 3m2-1 y1y2= 9 3m2-1

．由此入手能夠求出直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，
建立直角坐標系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線（不包含頂點），
其軌跡方程為x2-

y2

3

=1（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（

MA

+λ

MB

）•（

MA

-λ

MB

）=0，且λ∈[2-

3

，2+

3

]，
∴

MA

=±λ

MB

，（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

MA

=（x₁+2，y₁），

MB

=（x₂+2，y₂）
設AB：my=x+2，代入x2-

y2

3

=1得，3（my-2）²-y²-3=0，
即（3m²-1）y²-12my+9=0．
∴

y1+y2= 12m 3m2-1 y1y2= 9 3m2-1

（7分）
①當

MA

=λ

MB

時，y₁=λy₂，∴

(1+λ)y2= 12m 3m2-1 (1) λ y 2 2 = 9 3m2-1 (2)

（8分）

(1)2

(2)2

得，

(1+λ)2

λ

=

16m2

3m2-1

，（9分）
∴

16m2

3m2-1

=2+λ+

1

λ

∈[4，6]，即4≤

16m2

3m2-1

≤6．
∴

3m2-1＞0 3m2-1≤4m2 8m2≤9m2-3

解得，m²≥3，故tan²θ≤

1

3

（10分）
②當

MA

=-λ

MB

時y₁=-λy₂，∴

(1-λ)y2= 12m 3m2-1 (3) -λ y 2 2 = 9 3m2-1 (4)

（11分）

(3)2

(4)2

得，

(1-λ)2

-λ

=

16m2

3m2-1

，即2-(λ+

1

λ

)=

16m2

3m2-1

．
∵λ∈[2-

3

，2+

3

]，λ+

1

λ

∈[2，4]
∴2-(λ+

1

λ

)∈[-2，0]，即-2≤

16m2

3m2-1

≤0．
∴

3m2-1＜0 3m2-1≤-8m2

即m2≤

1

11

，故tan²θ≥11． （13分）
由①、②得tan²θ≤

1

3

或tan²θ≥11．
則夾角θ∈（0，

π

6

]∪arctan

11

，

π

2

），（14分）
∵tanθ不存在時，直線l符合條件，故θ=

π

2

時，符合題意．
∴θ∈（0，

π

6

]∪[arctan

11

，

π

2

）． （15分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．