Question

【題目】如圖，已知, , 是正三角形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值。

Answer 1

【答案】（2）

【解析】試題分析：

（I）取 的中點(diǎn) 的中點(diǎn) ，連接 ，由，△BCE是正三角形， ，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)，我們可得四邊形 是平行四邊形，則 ，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得到結(jié)論．
（II）由 根據(jù)線面垂直判定定理可得 ，結(jié)合（I）中 ，可得 平面 ，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ；
（III）過(guò)作 ，連接BM，我們可以得到 為二面角 的平面角，解三角形 即可求出二面角的正切值．

試題解析：

(Ⅰ)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí),CF∥平面ADE…(1分)

證明：取BE的中點(diǎn)F.AE的中點(diǎn)G，連接GD，GD，CF

∴GF=12AB,GF∥AB

又∵DC=12AB,CD∥AB

∴CD∥GF，CD=GF

∴CFGD是平行四邊形…(3分)

∴CF∥GD

∴CF∥平面ADE…(4分)

(Ⅱ)∵CF⊥BF，CF⊥AB

∴CF⊥平面ABE

∵CF∥DG

∴DG⊥平面ABE…(6分)

∵DG平面ABE

∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)

(Ⅲ)∵AB=BE

∴AE⊥BG

∴BG⊥平面ADE

過(guò)G作GM⊥DE，連接BM，則BM⊥DE

則∠BMG為二面角ADEB的平面角…(9分)

設(shè)AB=BC=2CD=2，則

BG=2√,GE=2√

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2

∴DE=5√

又DG=CF=3√

由DEGM=DGEG得GM=30√5…(11分)

∴tan∠BMG=BGGM=15√3

∴面角的正切值15√3…(12分)