Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，將點的坐標代入橢圓的方程，可得出和的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，由求出的范圍，列出韋達定理，利用弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式求出的高，然后利用三角形的面積公式結合基本不等式可求出該三角形面積的最大值.

（1）設橢圓的焦距為，則，.

則橢圓的方程可化為，

將點的坐標代入橢圓的方程得，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設直線的方程為，設點、，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，

消去，整理得，，得.

由韋達定理得，.

則，

直線的一般方程為，點到直線的距離為，

所以，，

當且僅當時，即當時，等號成立，

因此，面積的最大值為.