Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點到原點的距離均為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓上的動點，三點共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設直線過點，直線過點，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析；

【解析】

（1）設漸近線與橢圓交點為，根據(jù)到原點的距離和在橢圓上可得到關于的方程，結合離心率即可求得，進而得到橢圓方程；

（2）由關于原點對稱可假設坐標；

（i）利用在橢圓上，滿足橢圓方程，代入中化簡整理可得結論；

（ii）求得后，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用可得到所求定值.

（1）設橢圓的半焦距為，由題意知：，…①，

雙曲線的漸近線方程為，

可設雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限的交點為，

，解得：.

在橢圓上，，即：…②，

由①②解得：，，

橢圓的標準方程為：.

（2）由題意知：關于原點對稱，則可設，，.

（i）點在橢圓上，，，

，，

.

（ii）不妨設，，

，，，，

直線過點，直線過點，

直線，，

由得：，，

由得：，，

，即，

為定值.