Question

【題目】已知函數

（1）若f(x)在[0，2]上是單調函數，求a的值；

（2）已知對∈[1，2]，f(x)≤1均成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據求導，令解得，，然后分討論求解.

（2）解法一：根據“對，均成立”，則成立，得到，則結合（1），時，，在上增，將“對，均成立”轉化為求解即可.

（1）因為

所以，

令解得，.

若即，

則對成立，函數在上單調，符合題目要求；

若即，

當時，，當時，，

函數在上不單調，不符合題目要求；

若即，

當時，，當時，，

函數在上不單調，不符合題目要求.

綜上，若在上是單調函數，則取唯一值：.

（2）解法一：已知“對，均成立”，

取得，

則，，則時，，在上增，

“對，均成立”等價于，

，

與取交集，得，

所以的取值范圍是

解法二：根據（1），若，則在上單減，

“在區間上，恒成立”等價于，不成立；

若即，則時，，函數在上單減，

在區間上，，“在區間上，恒成立”不成立；

若即，則時，，函數在上單增，

在區間上，，

“在區間上，恒成立” ，

解得，與相交取交集，得；

若即，則時，，時，，

函數在上遞增，在上遞減，

在區間上，，

“在區間上，恒成立”.

設，

則，在上遞增，，

則函數在上遞增，，

因此時，均不成立.

綜上，所求的取值范圍是