Question

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；

(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）AM＝.

【解析】(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2) ＝(1，－2，－1)．

設平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

則即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，從而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值為.

(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，設＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．

設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則

sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，

于是＝，解得λ＝，所以AM＝