Question

某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元．該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不低于51元．
（1）當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？
（2）設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為p元，寫出函數(shù)p=f（x）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)銷售商一次訂購多少個(gè)時(shí)，該廠獲得的利潤為6000元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)-成本）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，可求得一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元；
（2）函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)0≤x≤100時(shí)，p為出廠單價(jià)；當(dāng)100＜x＜550時(shí)，p=60-0.02(x-100)=62-

x

50

；當(dāng)x≥550時(shí)，p=51，故可得結(jié)論；
（3）根據(jù)工廠售出一個(gè)零件的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)-成本，求出利潤函數(shù)，利用利潤為6000元，可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x₀個(gè)，
則x0=100+

60-51

0.02

=550（個(gè)）
因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元．…（2分）
（2 ）當(dāng)0≤x≤100時(shí)，p=60；…（3分）
當(dāng)100＜x＜550時(shí)，p=60-0.02(x-100)=62-

x

50

；…（4分）
當(dāng)x≥550時(shí)，p=51．…（5分）
所以p=

60(0＜x≤100) 62- x 50 (100＜x＜550) 51(x≥550)

(x∈N*)…（6分）
（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，則L=(p-40)x=

20x(0＜x≤100) 22x- x2 50 (100＜x＜550)(x∈N*) 11x(x≥550)

…（9分）
當(dāng)0＜x≤100時(shí)，L≤2000；…（10分）
當(dāng)x≥500時(shí)，L≥6050；…（11分）
當(dāng)100＜x＜550時(shí)，L=22x-

x2

50

．
由

22x- x2 50 =6000 100＜x＜550

，解得x=500．
答：當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)時(shí)，該廠獲得的利潤為6000元．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是確定分段函數(shù)模型．