Question

【題目】已知函數。

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數，討論函數的單調性；

（3）若（2）中函數有兩個極值點，且不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，g（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為;當時，g（x）的單調遞增區間為,,單調遞減區間為;當時，g（x）的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

【解析】

試題分析：（1）求切線方程，求出導數，計算為切線斜率，由點斜式寫出切線方程；（2）求出導數，函數定義域為，只要研究分子二次式的正負可得的單調區間，首先由判別式確定二次方程的根的情形，在時注意兩根與的關系，分類時要不重不漏；（3）由（2）可知，，，因此下面只要求得此式的最小值即可得范圍．

試題解析：（1）f（x）的定義域為，且，又a=2,的

而f（1）=-1,所以f（x）在（1，-1）處的切線方程為y=-1

，

當時，g（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為;

當時，g（x）的單調遞增區間為,,單調遞減區間為;

當時，g（x）的單調遞增區間為，無單調遞減區間

（3）由第（2）問知，函數g（x）有兩個極值點，則，且，

又因為，所以，，因為

于是設，（），則有

，因為，所以，且2lnx<0,得,

即h（x）在單調遞減，所以，得m的范圍為