Question

（本小題滿分12分）已知數(shù)列為方向向量的直線上，  （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 
（II）求證：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；  
（III）記
求證：

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)見解析（Ⅲ）見解析

（I）解：由題意，      1分
      1
為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。    1分
     1分
（Ⅱ）證明：

構(gòu)造輔助函數(shù)
單調(diào)遞增，
令
則

   4分
（III）證明：



時(shí)，

（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）。3分
另一方面，當(dāng)時(shí)，


                              

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。
綜上所述，有      2分