已知數列
滿足
．
（1）證明數列
為等比數列，并求出數列的通項公式；
（2）若數列
滿足
．證明：數列是等差數列．
（3）證明：
．
（1）
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）證明數列為等比數列，就是證明
為一個常數. 因為
,所以
，所以,
是以2為首項,2為公比的等比數列. 則
,即,
；（2）證明數列是等差數列，就是要證明
為一個常數．首先化簡等式，即
，所以
，這實質是
，因此作差消去
得：
，再作差消去常數得：
，
，即
；（3）證明數列不等式，一般有兩個思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項
不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進行放縮，由
，得.
試題解析：（1）因為,所以
,且
,
所以,是以2為首項,2為公比的等比數列. 2分
則,即,. 3分
（2）因為
所以. 4分
所以 ①
② 6分
②-①,得
即 ③ 
④ 8分
④-③,得
,
即
得, 10分
所以數列為等差數列.
(3）因為
,
11分
所以. 12分
考點：用定義證明等差數列、等比數列，放縮法證明數列不等式
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
，數列{an}滿足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0．數列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．
(1)求證：數列
是等差數列；
(2)求數列{|bn|}的前n項和Tn．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
，
滿足
，
，
，
．
（1）求證：數列
是等差數列，并求數列
的通項公式；
（2）設數列
滿足
，對于任意給定的正整數
，是否存在正整數
，
(
)，使得
，
，
成等差數列？若存在，試用
表示，
；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個三角形數表按如下方式構成（如圖：其中項數
）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數列，從第二行起，每一個數是其肩上兩個數的和，例如：
；
為數表中第
行的第
個數．
求第2行和第3行的通項公式
和
；
證明：數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列，并求
關于（
）的表達式；
（3）若
，
，試求一個等比數列
，使得
，且對于任意的
，均存在實數
?，當
時，都有
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
，對任意的
，
、
、
成等比數列，公比為
；、、
成等差數列，公差為
，且
．
（1）寫出數列的前四項；
（2）設
，求數列
的通項公式；
（3）求數列
的前
項和
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
正實數數列{an}中,a1=1,a2=5,且{
}成等差數列.
(1)證明:數列{an}中有無窮多項為無理數;
(2)當n為何值時,an為整數?并求出使an<200的所有整數項的和.
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中，
滿足
（
為常數，
）
時，求
；
時，求
的值；
恒成立的常數
中，已知
，
（
.
是等差數列；
的通項公式
及它的前
項和
.