Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，M是CC1中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面AB1M⊥平面A1ABB1；

(Ⅱ)過點(diǎn)C作一截面與平面AB1M平行，并說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：(Ⅰ) 連結(jié)交于，則是的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，求出，從而平面，由此能證明平面平面；(Ⅱ) 取中點(diǎn)中點(diǎn)，連結(jié)，則截面是過點(diǎn)與平面平行的截面，先證明 ，利用面面平行的判定定理能證明平面平面.

試題解析：(Ⅰ)證明：連接A1B交AB1于點(diǎn)P，

易知P是A1B的中點(diǎn).

取AB中點(diǎn)D，連接CD，PD，MP.

因?yàn)镸，D分別是CC1，AB的中點(diǎn)，

所以DP∥CM，且DP＝CM.

所以四邊形MCDP是平行四邊形.

所以CD∥MP.

又AC＝BC，所以CD⊥AB，

因?yàn)镃C1⊥平面ABC，∴CC1⊥CD，

又AA1∥CC1，∴CD⊥AA1，

所以CD⊥平面A1ABB1，所以MP⊥平面A1ABB1.

又因?yàn)镸P平面AB1M，所以平面AB1M⊥平面A1ABB1，

(Ⅱ)解：取AB中點(diǎn)D，BB1中點(diǎn)N，連接CD，CN，DN，則截面CDN為所求，

由D，N分別是AB，BB1的中點(diǎn)知DN∥AB1，

又在矩形BCC1B1中，M是CC1中點(diǎn)，

∴B1N∥CM，B1N＝CM，∴四邊形CMB1N是平行四邊形，∴B1M∥CN，

∵CN，DN平面AB1M，B1M，AB1平面AB1M，

∴CN∥平面AB1M，DN∥平面AB1M，

∵CN∩DN＝N，CN，DN平面CDN，

∴平面CDN∥平面AB1M.