Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC，PC于D，E兩點，PB=BC，PA=AB=1．

（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）求直線BE與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE垂直平分線段PC，

∴PC⊥DE，

∵PB=BC，E是PC的中點，

∴PC⊥BE，

又DE平面BDE，BE平面BDE，DE∩BE=E，

∴PC⊥平面BDE

（2）解：∵PC⊥平面BDE，BD平面BDE，

∴PC⊥BD，

∵PA⊥平面ABC，BD平面ABC，

∴PA⊥BD，

又PC平面PAC，PA平面PAC，PC∩PA=P，

∴BD⊥平面PAC，

∴∠BED為直線BE與平面PAC所成的角，

∵PA=AB=1，AB⊥BC，∴PB=BC= ，AC= ，

∴PC=2，∴CE= PC=1，∴BE= =1，

∵sin∠ACB= ，即 ，∴BD= ．

∴DE= ．

∴cos∠BED= = ．

∴直線BE與平面PAC所成角的余弦值為

【解析】（1）由DE⊥PC，PC⊥BE得出PC⊥平面BDE；（2）由PC⊥BD，PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故∠BED為BE與平面PAC所成的角，利用勾股定理計算BE，DE得出cos∠BED．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．