Question

設有-4×4正方形網格，其各個最小的正方形的邊長為4cm，現用直徑為2cm的硬幣投擲到此網格上；假設每次投擲都落在最大的正方形內或與最大的正方形有公共點．求：
（1）硬幣落下后完全在最大的正方形內的概率；
（2）硬幣落下后與網格線沒有公共點的概率．

Answer 1

考慮圓心的運動情況．
（1）因為每次投擲都落在最大的正方形內或與最大的正方形有公共點，所以圓心的最大限度為原正方形向外再擴張1個小圓半徑的區域，且四角為四分之圓弧；此時總面積為：
16×16+4×16×1+π×1²=320+π；
完全落在最大的正方形內時，圓心的位置在14為邊長的正方形內，
其面積為：14×14=196；
∴硬幣落下后完全在最大的正方形內的概率為：P=

196

320+π

；
（2）每個小正方形內與網格線沒有公共點的部分是正中心的邊長為2的正方形的內部，一共有16個小正方形，總面積有16×2²=64；
∴硬幣落下后與網格線沒有公共點的概率為P=

64

320+π

．即硬幣落下后完全在最大的正方形內的概率為P=

196

320+π

；
硬幣落下后與網格線沒有公共點的概率為P=

64

320+π

．