Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項的和為且數(shù)列滿足且對任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項公式.

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列.

（3）令問是否存在正整數(shù)使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見證明

【解析】

（1）利用項和公式求數(shù)列的通項公式.(2)由題得，，即，再求出，再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.(3) 先求出，所以，根據(jù)成等比數(shù)列得，即，再求出m，k的值.

（1）因為數(shù)列的前項的和，

所以當時，；

當且時，，

當時，上式也成立，

所以數(shù)列的通項公式為.

（2）證明：因為對任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列，

所以，即，

所以，

兩式相除得，對任意正整數(shù)都有，

即，

當為奇數(shù)時，，所以，

當為偶數(shù)時，，而，所以，

所以.

所以，

所以數(shù)列為等差數(shù)列.

(3)因為，

所以，

因此存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列

，

因為都是正整數(shù)，則，

即時，對應的.

所以存在或或使得成等比數(shù)列.