Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左右頂點為，右焦點為，一條準線方程是，點為橢圓上異于的兩點，點為的中點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交直線于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；

（3）若，求直線斜率的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）。

【解析】

（1）由橢圓的準線方程和右焦點可得a，c，再解出b即可；（2）由A（﹣2，0），B（2，0），設P，直線PB的方程為，代入橢圓方程求得P的坐標，從而得M點坐標，再運用直線的斜率公式求出，，化簡計算可得定值；（3）由＝0，可得AP⊥AQ，即kAQkAQ＝﹣1，設AP：，代入橢圓方程3x2+4y2＝12，解方程求得P的坐標，將k換為﹣可得Q的坐標，再由中點坐標公式可得R的坐標，再由直線的斜率公式，結合換元法和基本不等式即可得到所求范圍．

（1）設橢圓焦距為，∵右焦點為，∴，

∵一條準線方程是，∴，∴.

∴橢圓的標準方程為；

（2）設，則∵，∴，

又，∴直線，∴ ，

又，∴，

∴。

（3）設直線，代入，

消去整理得 ，

由，得，，

∵，∴直線，

同理可得 ，

∵點為的中點，∴， 又，

∴，

設，則，∴，

當時，，

當時，，

∵或，∴或，

綜上可知直線斜率的取值范圍是。