Question

【題目】已知直線l的方程為x=﹣2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x2+y2=1與x軸交于A，B兩點．
（1）過M點的直線l1交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的 ，求直線l1的方程；
（2）若橢圓中a，c滿足 =2，求中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（3）過M點作直線l2與圓相切于點N，設(shè)（2）中橢圓的兩個焦點分別為F1 ， F2 ， 求三角形△NF1F2面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ為圓周的 ，∴ ．∴O點到直線l1的距離為 ．

設(shè)l1的方程為y=k（x+2），∴ ，∴ ．∴l(xiāng)1的方程為 ．

（2）解：設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，則 ．∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，根據(jù)橢圓與圓的對稱性

則a=1或b=1．

當(dāng)a=1時， ，∴所求橢圓方程為 ；

當(dāng)b=1時，b2+c2=2c，∴c=1，∴a2=b2+c2=2．

所求橢圓方程為 ．

（3）解：設(shè)切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，

N點的坐標(biāo)為 ，

若橢圓為 ．其焦點F1，F(xiàn)2

分別為點A，B故 ，

若橢圓為 ，其焦點為 ，

此時

【解析】（1）由PQ為圓周的 ，可得 ．O點到直線l1的距離為 ．再利用點到直線的距離公式即可得出．（2）設(shè)橢圓方程為 ，半焦距為c，則 ，利用橢圓與圓的對稱性質(zhì)即可得出．（3）設(shè)切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，N點的坐標(biāo)為 ，再利用三角形面積計算公式即可得出．