Question

某工廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，問堆料場的長和寬各為多少時，才能使砌墻所用的材料最省？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)矩形堆料場的寬為xm，則長為

512

x

m，表示出新的墻壁的周長，利用基本不等式可求周長的最小值，從而可求砌壁所用的材料最省時堆料的長和寬．

解答： 解：要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，如圖所示．
設(shè)場地寬為x，則長為

512

x

，…（2分）
新砌墻的總長度為L=2x+

512

x

（x＞0）．…（4分）
求導(dǎo)L′=2-

512

x2

，…（6分）
令L′=0得x=-16或x=16，
∵x＞0，∴x=16．…（8分）
當x∈（0，16）時，L′＜0，…（9分）
當x∈（16，+∞）時，L′＞0，…（10分）
∴當x=16時，L取得極小值，…（11分）
且這個極小值為函數(shù)L在（0，+∞）上的最小值，L_min=64（m）．…（13分）
答：當堆料場寬為16米，長為32米時，可使砌墻所用的材料最省．…（14分）

點評：本題重點考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是求出新的墻壁的周長．