【題目】已知一個正多邊形的每條邊和對角線恰各染成2018種顏色之一，且所有邊及對角線不全同色.若正多邊形中不存在兩色三角形（即三角形的三邊恰被染成兩種顏色），則稱該多邊形的染色是“和諧的”.求最大的正整數
，使得存在一個和諧的染色正邊形.
【答案】
【解析】
先考慮和諧染色的正
邊形的任意一個頂點
.可證明：對于每種顏色，由至多可以引出2016條該種顏色的邊.
否則，設與頂點
相連的邊有相同的顏色（記為
），于是，
兩兩之間連邊的顏色均為.
令頂點
為與相連的邊異于顏色的一個頂點（此頂點必然存在，否則，正邊形的所有邊均為顏色 ，與條件矛盾）.此時，頂點與的連邊兩兩不同色，且均不為顏色 ，這樣至少有2019種顏色，與條件矛盾.
從而，在和諧染色的正多邊形中，任一頂點引出的邊數為
.
再證明：存在和諧的染色正
邊形.
注意到，2017為素數.
故對任意整數 
，及任意整數
，均存在唯一的
，使得
.
用
表示個頂點，其中，
、
，數字0,1，…，2017表示2018種顏色.
對于頂點
和
，當
時，
若
，
則將 與 之間的連邊染顏色
；
若
，則將與 之間的連邊染色顏色2017.
由2017為素數，知染色方式唯一確定.
下面證明：這樣的染色方式是和諧的.
對于任意三個頂點、、
，若、與 、之間的連邊同色，則、之間的連邊也必為此種顏色.
事實上，若、與、之間的連邊同為顏色2017，則
.故
、 之間的連邊也為顏色2017.
若、 與、之間的連邊同為顏色
，
則，
.
故
.
從而，、 之間的連邊也為顏色 
.
綜上，滿足條件的.
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足
an+1
an=0(n∈N*)，且
，
，
成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式;
（2）令bn=
(n∈N*)，求數列{bn}的前n項和為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
在第一象限內的點
到焦點F的距離為
．
（1）求拋物線
的方程；
（2）若直線
與拋物線C相交于A，B兩點，與圓
相交于D，E兩點，O為坐標原點，
，試問：是否存在實數a，使得|DE|的長為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某蔬果經銷商銷售某種蔬果，售價為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）根據頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數
（同一組中的數據用該組區間中點值代表）；
（2）該經銷商某天購進了250公斤這種蔬果，假設當天的需求量為
公斤
，利潤為
元.求關于的函數關系式，并結合頻率分布直方圖估計利潤不小于1750元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程為
，直線
，直線 
．以極點
為原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求直線
，
的直角坐標方程以及曲線的參數方程；
（2）已知直線與曲線交于
兩點，直線與曲線交于
兩點，求
的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有（ ）
A. 
所在平面B. 
所在平面
C. 
所在平面D. 
所在平面
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗方式為：弧田面積=
，弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差。現有圓心角為
，半徑等于4米的弧田.下列說法不正確的是（ ）
A. “弦”
米，“矢”
米
B. 按照經驗公式計算所得弧田面積（
）平方米
C. 按照弓形的面積計算實際面積為（
）平方米
D. 按照經驗公式計算所得弧田面積比實際面積少算了大約0.9平方米（參考數據
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
的三條內線段
、
、
交于點
、用紅、藍兩種顏色對的三條邊線和三條內線段染色，使同色的三線不交于一點.證明：在圖中所有的三角形中，至少存在兩個同色三角形，且它的各邊或延長線被另一線截得的兩線段之比的和大于3.
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