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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求直線與曲線公共點的極坐標；

（2）設過點的直線交曲線于，兩點，且的中點為，求直線的斜率.

【答案】(1) 直線與曲線公共點的極坐標為， (2)-1

【解析】

(1)寫出直線l和曲線的直角坐標方程，然后聯立求交點坐標，化成極坐標即可;(2)寫出直線的參數方程代入曲線中，利用弦中點參數的幾何意義即可求解.

（1）曲線的普通方程為，

直線的普通方程為

聯立方程，解得或

所以，直線與曲線公共點的極坐標為，

（2）依題意，設直線的參數方程為（為傾斜角，為參數），

代入，整理得：.

因為的中點為，則.

所以，即.

直線的斜率為-1.

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（1）求在上的單調區間；

（2）當時，設函數，時，證明．

（3）證明：．

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(I)某顧客只抽獎一次，設該顧客抽獎所獲得的獎金數為X元，求X的分布列和數學期望；

(II)如圖2，該商場統計了活動期間一天的顧客消費情況．現按照消費金額分層抽樣選出15位顧客代表，其中獲得獎金總數不足100元的顧客代表有7位．現從這7位顧客代表中隨機選取兩位，求這兩位顧客的獎金總數和仍不足100元的概率．

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支付金額

支付方式

不大于2000元

大于2000元

僅使用A

27人

3人

僅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數；

（Ⅱ）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發現他本月的支付金額大于2000元．結合（Ⅱ）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．

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