Question

已知數列{a_n}，如果數列{b_n}滿足b₁＝a₁，b_n＝a_n＋a_n－1，n≥2，n∈N^*，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“生成數列”．
(1)若數列{a_n}的通項為a_n＝n，寫出數列{a_n}的“生成數列”{b_n}的通項公式；
(2)若數列{c_n}的通項為c_n＝2n＋b(其中b是常數)，試問數列{c_n}的“生成數列”{q_n}是否是等差數列，請說明理由；
(3)已知數列{d_n}的通項為d_n＝2ⁿ＋n，求數列{d_n}的“生成數列”{p_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1) b_n＝2n－1(n∈N^*)
(2) 當b＝0時，{q_n}是等差數列；
當b≠0時，{q_n}不是等差數列．
(3) p_n＝，T_n＝3·2ⁿ＋n²－4

解：(1)當n≥2時，b_n＝a_n＋a_n－1＝2n－1，
當n＝1時，b₁＝a₁＝1適合上式，
∴b_n＝2n－1(n∈N^*)．
(2)q_n＝
當b＝0時，q_n＝4n－2，由于q_n＋1－q_n＝4，所以此時數列{c_n}的“生成數列”{q_n}是等差數列．
當b≠0時，由于q₁＝c₁＝2＋b，q₂＝6＋2b，q₃＝10＋2b，此時q₂－q₁≠q₃－q₂，所以數列{c_n}的“生成數列”{q_n}不是等差數列．
綜上，當b＝0時，{q_n}是等差數列；
當b≠0時，{q_n}不是等差數列．
(3)p_n＝
當n>1時，T_n＝3＋(3·2＋3)＋ (3·2²＋5)＋…＋(3·2^n－1＋2n－1)，
∴T_n＝3＋3(2＋2²＋2³＋…＋2^n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2ⁿ＋n²－4.
又n＝1時，T₁＝3，適合上式，
∴T_n＝3·2ⁿ＋n²－4.