Question

如圖，在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且.

(1)若，求證:;
(2)若直線與平面所成角的大小為，求的最大值.

Answer 1

(1)當(dāng)時(shí), 根據(jù)，所以 ；
(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

試題分析：如圖,建立空間直角系,則

 （1分）
(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí),, （3分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010308274725.png" style="vertical-align:middle;" />，所以 （5分）
(2)設(shè)平面ABN的法向量，則，
即，取。而， （7分） （9分）
，，故 （11分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.  （12分）
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，本題利用向量簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。對(duì)計(jì)算能力要求較高。