Question

已知定義在R上的偶函數y=f（x），且x≥0時，f（x）=2^x-1
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，m]（m＞-1）時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求x＜0時的f（x）解析式，所以設x＜0，-x＞0，從而可求出f（x）=f（-x）=2^-x-1；
（2）根據f（x）的單調性，分m≤0，0＜m≤1，m＞1這幾種情況討論m的取值，然后根據f（x）的單調性及最值情況即可求得f（x）在[-1，m]上的值域．

解答： 解：（1）設x＜0，-x＞0；
∴f（x）=f（-x）=2^-x-1；
即x＜0時，f（x）=2^-x-1；
（2）容易判斷x≥0時，f（x）=2^x-1是增函數；
x＜0時，f（x）=2^-x-1是減函數；
∴①若m≤0，f（x）的值域為[f（-1），f（m）]=[1，2^-m-1]；
②若0＜m≤1，則2^m-1≤1，∴此時f（x）的值域為[f（0），f（-1）]=[

1

2

，1]；
③若m＞1，則2^m-1＞1，∴此時f（x）的值域為[f（0），f（m）]=[

1

2

，2m-1]．

點評：考查求偶函數在對稱區間上的解析式的方法與過程，根據分段函數的單調性及單調區間，討論參數m的取值范圍，從而求函數的值域．