Question

【題目】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.現以邊AC的中點D為坐標原點，平面ABC內垂直于AC的直線為軸，直線AC為軸，直線DA1為軸建立空間直角坐標系，解決以下問題:

（1）求異面直線AB與A1C所成角的余弦值；

（2）求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以邊AC的中點D為坐標原點，平面ABC內垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB與A1C所成角的余弦值．

（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出直線AB與平面A1BC所成角的正弦值．

（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．

以邊AC的中點D為坐標原點，

平面ABC內垂直于AC的直線為x軸，

直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標系，

根據題中空間直角坐標系可知：

A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），

∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），

∴cos＜＞===，

設異面直線AB與A1C的所成角為α，則，

∴異面直線AB與A1C所成角的余弦值為．

（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），

設平面A1BC的法向量為=（x，y，z），

∴，取z=1，則=（0，），

∴cos＜，＞===．

設直線AB與平面A1BC所成角為β，β∈（0，]，

則sinβ=|cos＜，＞|=．

故直線AB與平面A1BC所成角的正弦值為．