Question

（理）設6張卡片上分別寫有函數f₁（x）=x、f₂（x）=x²、f₃（x）=x³、f₄（x）=sinx、f₅（x）=cosx和f₆（x）=lg（|x|+1）．
（Ⅰ）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數
的概率；
（Ⅱ）現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片，則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．
（文）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ） 求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ） 是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論．

Answer 1

分析：理：（Ⅰ）先計算出從六個函數任取兩個函數的取法總數，再計算事件“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數”的取法，只有從三個奇函數中取兩個才符合題意，故此事件包含的基本事件數是C₃²，由公式計算出概率即可．
（II）ξ可取1，2，3，4，分別計算出變量取每個值的概率，得出分布列，再由公式求出期望；
文：（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，不妨令垂直于底面的側棱為PC，則知棱錐的高為PC=2，由公式求出體積；
（Ⅱ） 由此幾何體的幾何特征知，不論點E在何位置，都有BD⊥AE，可由線面垂直的性質證得BD⊥AE．

解答：（理）解：（Ⅰ）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，則P(A)=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． P(ξ=1)=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

…（10分）
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	3 10	3 10	3 20	1 20

…（12分）Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，從而ξ的數學期望為

7

4

．…（14分）

（文）解：（Ⅰ） 由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2…（3分）
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

…（6分）
（Ⅱ） 不論點E在何位置，都有BD⊥AE…（7分）
證明如下：連接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊥平面ABCD，∴BD⊥PC…（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC…（12分）
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC．∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解答本題關鍵是理解所研究的事件以及事件概率的求法公式，期望求法公式，本題是概率中考查比較全面的題型，涉及到了事件的性質，概率的求法，期望的求法，是近幾年高考中概率考試比較常見的題型