Question

設6張卡片上分別寫有函數f₁（x）=x、f₂（x）=x²、f₃（x）=x³、f₄（x）=sinx、f₅（x）=cosx和f₆（x）=lg（|x|+1）．
（1）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率；
（2）現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片，則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）先計算出從六個函數任取兩個函數的取法總數，再計算事件“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數”的取法，只有從三個奇函數中取兩個才符合題意，故此事件包含的基本事件數是C₃²，由公式計算出概率即可．
（2）ξ可取1，2，3，4，根據變量對應的事件分別計算出變量取每個值的概率，得出分布列，再由公式求出期望；

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率
記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，
則 P(A)=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

．…（6分）
（2）ξ可取1，2，3，4．  P(ξ=1)=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

…（10分）
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	3 10	3 10	3 20	1 20

…（12分）
∴Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，從而ξ的數學期望為

7

4

．…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解答本題關鍵是理解所研究的事件以及事件概率的求法公式，期望求法公式，本題是概率中考查比較全面的題型，涉及到了事件的性質，概率的求法，期望的求法．