Question

設直線l與球O有且只有一個公共點P，從直線l出發的兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的半徑分別為1和

3

，二面角α-l-β的平面角為

π

2

，則球O的表面積為（　　）

A．4π

B．16π

C．28π

D．112π

Answer 1

分析：設兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的圓心分別為O₁，0₂，根據球的截面圓性質及球的切線性質得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，繼而四邊形O₁0₂OP為矩形，得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²，再計算球O的表面積即可．

解答：解：設兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的圓心分別為O₁，0₂，連接O₁P，O₂P，OP，如圖所示
由球的截面圓性質及球的切線性質得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，且O₁P=1，O₂P=

3

，
∴l⊥面OO₁P，l⊥面OO₂P，∴O₁，0₂，O，P四點共面，
∠O₁PO₂ 為二面角α-l-β的平面角，∠O₁PO₂=

π

2

，四邊形O₁0₂OP為矩形．
∴O₁P²+O₂P²=OP²=R²，得R²=4，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故選B．

點評：本題考查了二面角的度量，球的截面圓性質及表面積計算．本題得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²是關鍵．