Question

設直線l與球O有且只有一個公共點P，從直線l出發的兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的半徑分別為1和

3

，二面角α-l-β的平面角為

π

2

，則球O的表面積為

16π

．

Answer 1

分析：欲求球O的表面積，只需求出球O的半徑，根據題意OP長即球O的半徑，再根據球心與截面圓圓心連線垂直截面圓，可考慮連接球心與兩個截面圓圓心，利用得到的圖形中的一些邊角關系，求出R，再利用球的表面積公式即可求出球O的表面積．

解答：解：設平面α，β截球O的兩個截面圓的圓心分別為A，B，
連接OA，OB，PA，PB，根據題意在四邊形OAPB中，∠APB=

π

2

，∠OAP=∠OBP=

π

2

，
∴∠AOB=

π

2

，
PA=1，PB=

3

，
設OP=R，則OA=

R2-1

，OB=

R2-3

，
設∠AOP=α，∠BOP=β，
則sinα=

1

R

，cosα=

R2-1

R

，sinβ=

3

R

，cosβ=

R2-3

R

，
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=

1

R

•

R2-3

R

+

R2-1

R

•

3

R

=sin

π

2

=1，
∴R²=4，
∴球O的表面積為4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評：本題考查了球的截面圓的性質，以及二面角的平面角的找法，綜合性較強，做題時要認真分析，找到聯系．