Question

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為B1C1，C1D1的中點，點P是上底面A1B1C1D1內一點，且AP∥平面EFDB，則cos∠APA1的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

連結AC、BD，交于點O，連結A1C1，交EF于M，連結OM，則AOPM，從而A1P＝C1M，由此能求出cos∠APA1的值.

解：如圖，連結AC、BD，交于點O，連結A1C1，交EF于M，連結OM，

面，為底面A1B1C1D1內一點，

∴cos∠APA1，

所以當取最小值時，cos∠APA1有最小值，

且E，F分別為B1C1，C1D1的中點，分別取和的中點，，

則有，進而得到面，又AP∥平面EFDB，則點必在上，

明顯地，當點在上時，取最小值，此時取最小值，cos∠APA1有最小值，，此時，如下圖，

設正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，

E，F分別為B1C1，C1D1的中點，又點P是底面A1B1C1D1內一點，

且AP∥平面EFDB，且面面于，

，又，，四邊形為平行四邊形

∴AOPM，又 E，F分別為B1C1，C1D1的中點，，且，

，又，∴A1P＝C1M，

∴cos∠APA1，即cos∠APA1的最小值是.

故選：C.