Question

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）過作直線與交于兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值（是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，，列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）直線斜率存在，設(shè)其方程為.，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式將角形面積用 表示，利用基本不等式 即可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題知，，，，

∴，∴，①

∵，∴，∴，②

①②聯(lián)立解得，，∴橢圓的方程為．

（2）設(shè)，，顯然直線斜率存在，設(shè)其方程為，

代入，整理得，

則，即，，，

，

所以到的距離，

所以三角形面積 ，

設(shè)，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時(shí)取等號(hào)，

所以面積的最大值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.