Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n （2n-1），（n∈N*）
（1）證明數列{a_n}為等差數列；
（2）設數列{b_n} 滿足b_n=（n∈N*），試判定：是否存在自然數n，使得b_n=900，若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
當n=1時，a₁=S₁=1，適合．∴a_n=4n-3，
∵a_n-a_n-1=4（n≥2），∴a_n為等差數列．
（2）由題意知，，
∴b_n=，
由n²=900，得n=30，即存在滿足條件的自然數，且n=30．
分析：（1）由關系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n，注意驗證當n=1時是否成立，再由等差數列的定義進行判斷；
（2）由（1）的結果先求出通項公式，再求出b_n，再代入b_n=900進行求解說明即可．
點評：本小題主要考查等差數列及數列求和等基礎知識，以及數列的前n項和與通項公式的關系式，需要先求數列的通項公式，再求數列的前n項和，考查運算求解能力．