Question

【題目】已知橢圓的中心為原點，焦點為，離心率為，不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于，兩點.

（1）若為線段的中點，求直線的方程.

（2）若點是直線上一點，點在橢圓上，且滿足，設直線與直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的值是定值，且值為

【解析】

（1）設橢圓的半焦距為，根據題意可得，解得，得到橢圓的方程為.設，.易知，由于點，都在橢圓上，得到，兩式相減得到，再根據為線段的中點求解.

（2）由（1）可知，直線，點.設點，，根據，得.，再代入求解.

（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得，解得.

故橢圓的方程為.

設，.易知，

由于點，都在橢圓上，所以，

所以.

因為為線段的中點，

所以.

故直線的方程為，即.

（2）由（1）可知，直線，點.

設點，，

易知.因為，

所以，得.

因為點在橢圓上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值為.