Question

【題目】給出下列四個命題

已知P為橢圓上任意一點，，是橢圓的兩個焦點，則的范圍是；

已知M是雙曲線上任意一點，是雙曲線的右焦點，則；

已知直線l過拋物線C：的焦點F，且l與C交于，兩點，則；

橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點，是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，若靜放在點的小球小球的半徑忽略不計從點沿直線出發則經橢圓壁反射后第一次回到點時，小球經過的路程恰好是4a．

其中正確命題的序號為______請將所有正確命題的序號都填上

Answer 1

【答案】

【解析】

求得橢圓的，運用焦半徑公式和橢圓的范圍，可得結論；

求得雙曲線的,討論在雙曲線的左支或右支上，求得最小值，即可判斷；

設出直線的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理，即可判斷；

可假設長軸在軸，短軸在軸，設為左焦點，是它的右焦點，對球的運動方向討論,沿x軸向左直線運動，沿x軸向右直線運動，及球從A不沿x軸，斜向上或向下運動，討論即可．

解：橢圓的，，，，設P的橫坐標為m，

由焦半徑公式可得則，由，可得

可得所求范圍是，故錯誤；

已知M是雙曲線的，，，若M在雙曲線左支上，可得；

若M在雙曲線右支上，可得，故正確；

已知直線l過拋物線C：的焦點F，設直線l的方程為，

代入拋物線的方程可得，且l與C交于，兩點，

可得，，則，故正確；

對于，假設長軸在x軸，短軸在y軸，設A為左焦點，B是它的右焦點，以下分為三種情況：

球從A沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是；

球從A沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是；

球從A不沿x軸斜向上或向下運動，碰到橢圓上的點C，反彈后經過橢圓的另一個焦點B，

再彈到橢圓上一點D，經D反彈后經過點此時小球經過的路程是4a．

綜上所述，從點A沿直線出發，經橢圓壁反射后第一次回到點A時，

小球經過的路程是4a或或故錯誤．

故答案為：．