Question

若定義域為R的奇函數f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則下列結論：
①f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱；
②f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱；
③f（x）是周期函數，且2個它的一個周期；
④f（x）在區間（-1，1）上是單調函數．
其中正確結論的序號是

 

．（填上你認為所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據f（2+x）=-f（x+1）=f（x）可斷定函數f（x）為周期函數，故可知③正確；根據f（x）為奇函數，可知函數關于原點對稱
根據周期性及f（1+x）=-f（x）可知函數關于（k，0）對稱，排除①；根據f（1+x）=-f（x）可推知f（x+

1

2

）=f（

1

2

-x）進而推知f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱；f（x）在區間（-1，0）上和在（0，1）上均為單調函數，但在（-1，1）不是單調函數，故④不正確．

解答：解：f（2+x）=-f（x+1）=f（x），
∴函數是以2為周期的周期函數，故③是正確的．
∵f（x）為定義域為R的奇函數，
∴f（x）函數圖象關于原點對稱，
∵f（x）為周期函數，周期為2且f（1+x）=-f（x），
∴f（x）函數圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱，故①不對．
∵f（1+x）=-f（x）
∴f（x+

1

2

）=f（x-

1

2

+1）=-f（x-

1

2

）=f（

1

2

-x）
∴f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，故②正確．
f（x）在區間（-1，0）上和在（0，1）上均為單調函數，但在（-1，1）不是單調函數，故④不正確．

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的綜合應用．屬基礎題．