Question

【題目】己知數列：1，，，3，3，3，，，，，…，，即當（）時，，記（）．

（1）求的值；

（2）求當（），試用n、k的代數式表示（）；

（3）對于，定義集合是的整數倍，，且，求集合中元素的個數．

Answer 1

【答案】（1）1888；（2），（）；（3）65.

【解析】

（1）令，解得，分析規律可得，，，，，，，由此即可求出；

（2）當（）時，，分別求出為奇數時和為偶數時的表達式，最后用n、k的代數式表示即可；

（3）首先時，，滿足條件，故，此時n取1個整數，由（2）知，當（）時，可得，由可得，必為偶數，令，解得，從而依次令，，，，，結合，分別求出n取整數的個數即可得到最終結果.

（1）依題意，令（），解得，

分析規律可得，，，，，

，，

則

；

（2）當（）時，

，

若為奇數，

；

若為偶數，

.

綜上所述，，（）；

（3）首先時，，滿足條件，故，此時n取1個整數；

由（2）知，當（）時，

，又，

則，

由可得，必為偶數，

令，解得，所以有：

當時，因為，故n可取3個整數；

當時，因為，故n可取5個整數；

當時，因為，故n可取7個整數；

當時，因為，故n可取63個整數；

綜上，集合中元素的個數為：