Question

【題目】已知實數，函數.

（1）當時，求函數的值域；

（2）當時，判斷函數的單調性，并證明；

（3）求實教的范圍，使得對于區間上的任意三個實數，都存在以為邊長的三角形.

Answer 1

【答案】（1）． （2）x∈[0，1）時，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時，f（x）遞減；

（3）．

【解析】

（1）判a＝0時，化簡函數，即可求f（x）的最小值；

（2）先化簡函數，得出函數的單調性，再利用定義進行證明；

（3）換元，原問題等價于求實數a的范圍，使得在區間上，恒有2ymin＞ymax．

由題意，f（x）的定義域為（﹣1，1），且f（x）為偶函數．

（1）a＝0時，

∴x∈（﹣1，1）時，， , ∴的值域為．

（2）a＝1時，

∴x∈[0，1）時，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時，f（x）遞減；

由于f（x）為偶函數，

∴只對x∈[0，1）時，證明f（x）遞增．

設0≤x1＜x2＜1，

∴，得

∴x∈[0，1）時，f（x）遞增成立；同理證明x∈（﹣1，0]時，f（x）遞減；

∴x∈[0，1）時，f（x）遞增；x∈（﹣1，0]時，f（x）遞減；

（3）設，則

∵，

∴，∴

從而原問題等價于求實數a的范圍，使得在區間上，恒有2ymin＞ymax．

①當時，在上單調遞增，∴，由2ymin＞ymax得，

從而；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，∴，

由2ymin＞ymax得，從而；

③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

∴ymin＝2，ymax＝，

由2ymin＞ymax得，從而；

④當a≥1時，在上單調遞減，∴，

由2ymin＞ymax得，從而；

綜上，．